Wie optimieren wir die Leistung in Mehrphasensystemen?
Die Facharbeit „Leistungen in Mehrphasensystemen“ von J. Brenner beschäftigt sich mit den theoretischen Grundlagen und praktischen Anwendungen elektrischer Leistung in mehrphasigen Stromversorgungssystemen. Im Fokus stehen die verschiedenen Leistungskomponenten wie Wirk-, Blind- und Scheinleistung sowie deren Berechnung und Bedeutung für industrielle Anwendungen. Diese Arbeit beleuchtet die Besonderheiten der Leistungsübertragung in Dreiphasensystemen und bietet wertvolle Einblicke in die Optimierung und Analyse moderner Stromnetze.
Bereich und Betrag der Wirkleistung in Mehrphasensystemen
Im Bild 1 ist eine beliebige Schnittstelle zwischen Quelle und Verbraucher eines Mehrphasensystems mit n=m Außenleiter +1 Neutralleiter dargestellt.

Sind die dort vorliegenden Augenblickswerte periodische Zeitfunktionen gleicher Periodendauer T, dann können an dieser Schnittstelle u.a. die Effektivwerte

und

sowie, abhängig von der Energieflussrichtung, die Wirkleistung [1]

gemessen werden. Den Zusammenhang dieser Messgrößen beschreibt die Schwarzsche Ungleichung [2]

oder mit den Gleichungen (1.1), (1.2) und (1.3)

Daraus folgt für den Bereich und den Betrag der Wirkleistung im Mehrphasensystem mit Neutralleiter

und

Im Bild 2 ist eine beliebige Schnittstelle zwischen Quelle und Verbraucher eines Mehrphasensystems mit n=m Außenleiter dargestellt. Sind die dort vorliegenden Augenblickswerte periodische Zeitfunktionen gleicher Periodendauer T, dann können an dieser Schnittstelle u.a. die Effektivwerte


und

sowie, abhängig von der Energieflussrichtung, die Wirkleistung [1]

gemessen werden. Den Zusammenhang dieser Messgrößen beschreibt die Schwarzsche Ungleichung [2]

oder mit den Gleichungen (1.8), (1.9) und (1.10)

Daraus folgt für den Bereich und den Betrag der Wirkleistung im Mehrphasensystem ohne Neutralleiter

und

Scheinleistungen in Mehrphasensystemen
Mit der Definition: Die Scheinleistung ist der Betrag der größten Wirkleistung, die mit den jeweils vorliegenden Spannungs- und Stromeffektivwerten erreicht werden kann, folgt aus der Betragsungleichung (1.7) für die Scheinleistung im Mehrphasensystem mit Neutralleiter

und aus der Betragsungleichung (1.14) für die Scheinleistung im Mehrphasensystem ohne Neutralleiter

Mit der Effektivwertgleichung [3]

wird die Scheinleistungsgleichung (2.2) alternativ

Leistungsfaktor in Mehrphasensystemen
Mit den Scheinleistungsgleichungen (2.1) und (2.2) werden die Bereichsungleichungen (1.6) und (1.13)

oder

Mit der Definition: Der Leistungsfaktor ist das Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung

wird die Ungleichung (3.2)

d.h. auf Grund dieser Ungleichung ist es möglich, für den Leistungsfaktor den Kosinus eines Winkels ϕ einzuführen.

Der Winkel ϕ ist eindeutig bestimmt, wenn er auf 0 ≤ ϕ ≤ π beschränkt wird.
Wirkleistung in Mehrphasensystemen
Mit Gleichung (3.5) folgt aus Gleichung (3.3) für die Wirkleistung

Dabei gehören zu 0 ≤ ϕ < π / 2 positive P- Werte (Wirkleistungsbezug) und zu π / 2 < ϕ ≤ π negative P- Werte (Wirkleistungsabgabe). Zu ϕ = π / 2 gehört der Wert P = 0.
Blindleistung in Mehrphasensystemen
Mit der Definition: Der Betrag der Wirkleistung und die Blindleistung sind die beiden orthogonalen Komponenten der Scheinleistung lassen sich diese nur positiv definierten drei Leistungsgrößen nach Bild 3 als rechtwinkliges Dreieck darstellen

Folglich gilt

oder

Für die Blindleistung folgt daraus

Mit Gleichung (4.1) wird diese Gleichung

oder

Scheinleistungen in speziellen Mehrphasensystemen
Die Scheinleistung im Einphasen-Zweileitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit m=1

oder mit U1N = U und I1= I

Die Scheinleistung im Zweiphasen-Zweileitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3) mit m=2

oder mit U10 = U20 =U12 / 2 und I1 = I2 = I

Die Scheinleistung im Zweiphasen-Dreileitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit m=2

Die Scheinleistung im Dreiphasen-Dreileitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3) mit m=3

Die Scheinleistung im Dreiphasen-Vierleitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit m=3

Die Scheinleistung im Sechsphasen-Sechsleitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3) mit m=6

wobei


Im symmetrischen Dreiphasen-Dreileitersystem ist U10 = U20 = U30, U12 = U13 = U23 und I1 = I2 = I3. Folglich wird die Scheinleistung nach Gleichung (6.4) in diesem System

Im symmetrischen Dreiphasen-Vierleitersystem ist U1N = U2N = U3N und I1 = I2 = I3. Folglich wird die Scheinleistung nach Gleichung (6.5) in diesem System

Beispiele
Mit den Messwerten im Einphasen- Zweileitersystem

berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung

Mit den Messwerten im Dreiphasen- Dreileitersystem

berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung

Mit den Messwerten im Dreiphasen- Vierleitersystem

berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung

Literatur
[1] J. Brenner: Wirkleistungen in Mehrphasensystemen
[2] J. Brenner: Schwarzsche Ungleichungen
[3] J. Brenner: Spannungen in Mehrphasensystemen